Question

3．已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）在的y=f（x）图象上运动时，点（$\frac{x}{3}，\;\frac{y}{2}$）是y=g（x）图象上的点．
（1）求y=g（x）的表达式；
（2）当g（x）≥f（x）时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x}{3}$=X，$\frac{y}{2}$=Y，由题设条件知，再由（a，b）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式；
（2）结合题意得到关于x的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）令$\frac{x}{3}=X，\frac{y}{2}=Y$，所以x=3X，y=2Y，
因为点（x，y）是函数y=f（x）的图象上，
所以$2Y=log_2^{（3X+1）}$，即$Y=\frac{1}{2}log_2^{（3X+1）}$
所以$g（x）=\frac{1}{2}log_2^{（3x+1）}（x＞-\frac{1}{3}）$；
（2）由g（x）≥f（x），得$\frac{1}{2}log_2^{（3x+1）}≥log_2^{（x+1）}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}3x+1＞0\\ x+1＞0\\ 3x+1≥{（x+1）^2}\end{array}\right.$解得0≤x≤1．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，关键是根据基本不等式，求出真数的范围，进而根据对数函数的单调性解决问题，是一道基础题．