Question

设

i

=（1，0），

j

=（0，1），若向量

a

满足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，则|

a

+2

j

|的取值范围是（　　）

• A、[2

  2

  ，3]
• B、[

  6 5

  5

  ，2

  2

  ]
• C、[

  5

  ，4]
• D、[

  6 5

  5

  ，3]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

OA

=2

i

，

OB

=

j

，

OP

=

a

．由于|2

i

-

j

|=|（2，-1）|=

5

．而向量

a

满足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，可得点P在线段AB上．设

OM

=-2

j

，

a

=(x，y)．可知：|

a

+2

j

|表示点M到线段AB上的点的距离d．线段AB所在的直线方程为

x

2

+y=1．当MP⊥AB时，利用点到直线的距离公式可得：d=

|0-4-2|

5

=

6 5

5

．而|MA|=2

2

，|MB|=3．经过比较即可得出|

a

+2

j

|的取值范围．

解答：解：设

OA

=2

i

，

OB

=

j

，

OP

=

a

．
∵|2

i

-

j

|=|（2，-1）|=

5

．
而向量

a

满足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，
∴点P在线段AB上．
设

OM

=-2

j

，

a

=(x，y)．
则|

a

+2

j

|表示点M到线段AB上的点的距离d．
线段AB所在的直线方程为

x

2

+y=1．
当MP⊥AB时，d=

|0-4-2|

5

=

6 5

5

．
而|MA|=2

2

，|MB|=3．
∴|

a

+2

j

|的取值范围是[

6 5

5

，3]．
故选：D．

点评：本题考查了向量的几何意义、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．