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11．已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为$\frac{1}{2}cr，\frac{1}{2}ar，\frac{1}{2}$br，由S=$\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}$br得r=$\frac{2S}{a+b+c}$，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则内切球的半径R=$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

分析 由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径．

解答 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．
∴根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，
∴根据体积相等可得$\frac{1}{3}$R（S1+S2+S3+S4）=V，
即内切球的半径R=$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$，
故答案为$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

点评 本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．

练习册系列答案
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