Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$（\sqrt{2}，0）$，且焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A为椭圆的下顶点，经过点（1，1）的直线与椭圆C交于不同两点M，N（均异于点A），证明：直线AM与AN的斜率之和为定值，并求出定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆焦点在x轴上，且经过点$（\sqrt{2}，0）$，且焦距为2，则$a=\sqrt{2}，c=1$，由b²=a²-c²=1，即可求得椭圆C的方程；
（2）由当直线MN斜率不存在时，$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，则k_AM+k_AN=2，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x-1）+1（k≠2），代入椭圆方程，由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{4k（k-1）}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{2k（k-2）}{{1+2{k^2}}}$，则${k_{AM}}+{k_{AN}}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{k{x_1}+2-k}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+2-k}}{x_2}$=$2k+（{2-k}）\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}=2k-（2k-1）=2$
即可求得直线AM与AN的斜率之和为定值2．

解答 解：（1）由题意知：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，且经过点$（\sqrt{2}，0）$，且焦距为2．
即$（\sqrt{2}，0）$为椭圆的右顶点，焦距2c=2，
∴$a=\sqrt{2}，c=1$，
由b²=a²-c²，解得：b=1，…（2分）
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…．（4分）
（2）证明：当直线MN斜率不存在时，$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
此时，k_AM+k_AN=2…（5分）
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x-1）+1（k≠2），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0，解得k＜-2或k＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁x₂≠0
则${x_1}+{x_2}=\frac{4k（k-1）}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{2k（k-2）}{{1+2{k^2}}}$，…..…（7分）
从而直线AM与AN的斜率之和${k_{AM}}+{k_{AN}}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{k{x_1}+2-k}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+2-k}}{x_2}$，…..…（8分）
=$2k+（2-k）（{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}）=2k+（2-k）\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$，
=$2k+（{2-k}）\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}=2k-（2k-1）=2$，…（11分）
∴直线AM与AN的斜率之和为2．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．