Question

5．已知命题p：?x₀∈[0，2]，log₂（x+2）＜2m；命题q：关于x的方程3x²-2x+m²=0有两个相异实数根．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若（?p）∧q为真，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$，解得实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，分类讨论，可得实数m的取值范围．

解答 解：令f（x）=log₂（x+2），则f（x）在[0，2]上是增函数，
故当x∈[0，2]时，f（x）最小值为f（0）=1，故若p为真，则2m＞1，$m＞\frac{1}{2}$．…（2分）
△=4-12m²＞0即${m^2}＜\frac{1}{3}$时，方程3x²-2x+m²=0有两相异实数根，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；…（4分）
（1）若（?p）∧q为真，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$，
即实数m的取值范围为$（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$…（6分）
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，
若p真q假，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{1}{2}\\ m≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}或m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$即$m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
若p假q真，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$．
综上所述，实数m的取值范围为$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{1}{2}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞）$．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断应用为载体，考查了复合命题，函数的图象和性质，方程根的个数与系数的关系等知识点，难度中档．