Question

14．已知函数f（x）=x³-x²+1．
（I）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（ I）f（x）=x³-x²+1，f′（x）=3x²-2x，
则f（1）=1，f′（1）=1，
则函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1，
化简得：y=x；
（II）令f′（x）=3x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=$\frac{2}{3}$，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	1	单调递减	$\frac{23}{27}$	单调递增

因此，当x=0时，f（x）有极大值，并且极大值为f（0）=1；
当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）有极小值，并且极小值为f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{23}{27}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．