Question

7．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．

	（0，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]
甲	$\frac{1}{2}$	x	x	x
乙	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	y	0

（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）首先求出x、y，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可．
（2）随机变量ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答 解：（1）由题意得$\frac{1}{2}+3x=1∴x=\frac{1}{6}$．
$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+y=1∴y=\frac{1}{2}$．
记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{2}{9}$，
甲、乙两人所付车费相同的概率为$\frac{2}{9}$．
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．
P（ξ=0）=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{7}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
 P（ξ=4）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{12}$

∴ξ的数学期望Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{7}{36}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{6}+4×\frac{5}{36}+5×\frac{1}{12}=\frac{7}{3}$

点评 本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题．