Question

18．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．

解答 解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，
∴OH=EH=2．
∴OE=2$\sqrt{2}$．
在平面CED内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程为y²=2px
（p＞0），F为抛物线的焦点．
C（2$\sqrt{2}$，4），
∴16=2p•（2$\sqrt{2}$），
解得p=2$\sqrt{2}$．
F（$\sqrt{2}$，0）．
即OF=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∵PB=4$\sqrt{2}$，PE=2$\sqrt{2}$，
∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为$\sqrt{E{F}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，建立平面坐标系，求出抛物线的方程以及焦点坐标是解决本题的关键，属于难题