Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（Ⅱ）平面ABM与PC交于点N，说明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，然后解三角形，求直线PC与平面ABM所成的角；
（Ⅲ）因为CD∥平面ABM，所以C点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离，求出DM即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=AD=4，点M为PD中点，∴AM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（Ⅱ）解：设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，
所以tan∠PNM=tan∠PCD=2

2

，
所以cos∠PNM=

1

3

；
（Ⅲ）解：因为CD∥平面ABM，所以C点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM于M，则DM就是D点到平面ABM的距离，
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD的中点，DM=2

2

，
则C点到平面ABM的距离等于2

2

．

点评：本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、点到平面的距离等知识点；注意线线平行，线面平行，面面平行的转化，同样注意线线垂直，线面垂直的转化；找平行时运用了平行四边形，中位线，找垂直时运用了矩形，三角形的高线，线面垂直的定义性质等．