Question

6．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（I）若点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}}$），求tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值；
（II）若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\frac{23}{13}$，求cos（${\frac{π}{3}$+θ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）B点坐标为$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$时，可画出图形，从而可得出sinθ，cosθ的值，进而得出tanθ的值，这样根据两角差的正切公式便可求出$tan（\frac{π}{4}-θ）$的值；
（Ⅱ）根据条件可得到$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（cosθ，sinθ）$，从而可表示出$\overrightarrow{OC}$的坐标，进行数量积的坐标运算便可由$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{23}{13}$得出cosθ的值，进而求出sinθ的值，从而便可求出$cos（\frac{π}{3}+θ）$的值．

解答 解：（Ⅰ）若$B（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，如图：
则：
$sinθ=\frac{4}{5}，cosθ=-\frac{3}{5}$；
∴$tanθ=-\frac{4}{3}$；
∴$tan（\frac{π}{4}-θ）=\frac{1-tanθ}{1+tanθ}=\frac{1-（-\frac{4}{3}）}{1+（-\frac{4}{3}）}=-7$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（cosθ，sinθ）$；
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（2+cosθ，sinθ）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=cosθ（2+cosθ）+si{n}^{2}θ$=$2cosθ+1=\frac{23}{13}$；
∴$cosθ=\frac{5}{13}$；
又θ∈（0，π）；
∴$sinθ=\frac{12}{13}$；
∴$cos（\frac{π}{3}+θ）=cos\frac{π}{3}cosθ-sin\frac{π}{3}sinθ$
=$\frac{1}{2}×\frac{5}{13}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{12}{13}$
=$\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$．

点评 考查单位圆的概念，以及三角函数的定义，弦化切公式，两角差的正切公式，两角和的余弦公式，以及根据点的坐标求向量坐标，向量坐标的加法和数量积运算．