Question

5．已知x，y∈R⁺且3x+y=4，若不等式xy≤（x+3y）•a对任意x，y∈R⁺恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得，3x+y=4，再分离参数，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由x，y∈R⁺且3x+y=4，可得1=$\frac{1}{4}$（3x+y），
不等式xy≤（x+3y）•a对任意x，y∈R⁺恒成立，
即为a≥$\frac{xy}{x+3y}$对任意x，y∈R⁺恒成立，
由$\frac{xy}{x+3y}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{3}{x}}$，
因为$\frac{1}{y}$+$\frac{3}{x}$=$\frac{1}{4}$（3x+y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{3}{x}$）=$\frac{1}{4}$（9+1+$\frac{3x}{y}$+$\frac{3y}{x}$）≥$\frac{1}{4}$（10+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{3y}{x}}$）=$\frac{1}{4}$（10+6）=4，
当且仅当x=y=1时，取得最小值．
则a≥$\frac{1}{4}$．
则实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查基本不等式的运用，注意运用乘1法和变形，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．