Question

15．设当x=θ时，函数f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，则sinθ=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $-\frac{3}{5}$
• D． $-\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．解出θ，

解答 解：$f（x）=3sinx+4cosx=5（{\frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx}）=5sin（{x+φ}）$，其中$sinφ=\frac{4}{5}$，$cosφ=\frac{3}{5}$，
由f（θ）=5sin（θ+φ）=-5，
可得sin（θ+φ）=-1，
∴$θ+φ=-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
$θ=-φ-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴$sinθ=sin（{-φ-\frac{π}{2}+2kπ}）=sin（{-φ-\frac{π}{2}}）=-cosφ=-\frac{3}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．