Question

已知向量

a

、

b

满足|

a

|=|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0，k∈R）．
（1）求

a

•

b

关于k的解析式f（k）；
（2）若

a

∥

b

，求实数k的值；
（3）求向量

a

与

b

夹角的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）结合|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，得到（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，然后，展开整理即可；
（2）直接根据共线的条件进行求解即可；
（3）设

a

，

b

夹角为θ，则根据数量积公式，结合基本不等式进行求解．

解答： 解：（1）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
∴（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
∵|

a

|=|

b

|=1，
∴k2+2k

a

•

b

+1=3（1-2k

a

•

b

+k²）
∴8k

a

•

b

=2+2k²，
∵k＞0，k∈R，
∴

a

•

b

=

1

4

（k+

1

k

）．
∴f（k）=

1

4

（k+

1

k

），
（2）∵

a

∥

b

，
∴

a

•

b

=±|

a

||

b

|=±1，
∴k+

1

k

=±4，
∴k=2±

3

或-2±

3

，
（3）设

a

，

b

夹角为θ，则根据数量积公式，得
cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

4

×2

k• 1 k

=

1

2

，
∴0≤θ≤

π

3

，
∴向量

a

与

b

夹角θ的最大值

π

3

．

点评：本题重点考查了平面向量的基本运算、向量的模计算公式等知识，属于中档题．