Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等边三角形，已知BC=2AC=4，AB=2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面CBP；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC即可证明平面PAC⊥平面CBP；
（Ⅱ）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A-PB-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由于BC=4，AC=2，AB=2$\sqrt{5}$．
∴AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC．
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BC?平面PBC，
∴BC⊥平面PAC，
BC?⊥平面PBC，
故 平面PAC⊥平面CBP．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，所以平面PBC⊥平面PAC，过A作AE⊥PC交PC于E，则AE⊥平面PBC，
再过E作EF⊥PB交PB于F，连结AF，
则∠AFE就是二面角A-PB-C的平面角．
由题设得AE=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{19}{5}}$，
∴cos∠AFE=$\frac{EF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{19}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键．考查学生的推理能力．