Question

8．若关于x的方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．

解答 解：当x≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，5x-$\frac{4}{x}$≥0，
∵方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m，
∴（4x+$\frac{5}{x}$）-（5x-$\frac{4}{x}$）=m，即-x+$\frac{9}{x}$=m；
∴m≤$\frac{41}{10}\sqrt{5}$．
当0＜x＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，5x-$\frac{4}{x}$＜0，
∵方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m，
∴（4x+$\frac{5}{x}$）+（5x-$\frac{4}{x}$）=m，
即9x+$\frac{1}{x}$=m；
∵9x+$\frac{1}{x}$≥6；
∴当m＜6时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m无解；
当m=6时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m在（0，1）上有两个解；
当m=10时，方程9x+$\frac{1}{x}$=m的解为1，$\frac{1}{9}$；
综上所述，实数m的取值范围为（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．
故答案为：（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．