Question

（2012•北京）已知函数f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1即可求其最小正周期；
（2）由（1）得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，再由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

=2cosx（sinx-cosx）
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，x≠kπ（k∈Z）
得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，（k∈Z）
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=

2

sin（2x-

π

4

）-1是关键，属于中档题．