Question

长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y²=2px（p＞0，a＞2p）上滑动，则线段 AB的中点M到y轴的最短距离为

1

2

（a-p）

．

Answer 1

分析：准线l：x=-

p

2

，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-

p

2

即可求解

解答：解：由题意可得抛物线的准线l：x=-

p

2

分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H
在直角梯形ABDC中MH=

AC+BD

2

由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）
MH=

AF+BF

2

≥

AB

2

=

a

2

即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为

a

2

∴线段 AB的中点M到y轴的最短距离为

1

2

(a-p)
故答案为

1

2

(a-p)

点评：本题 主要考查了利用抛物线的定义的应用，三角形的两边之和大于第三边的应用，属于知识的简单综合应用．