Question

19．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率是2．

Answer 1

分析 求出右准线与渐近线的交点P，Q，△PQF为等边三角形，可得直线PF的斜率为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出a，b的关系，与c²=a²+b²联立求e．

解答 解：双曲线的右准线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，两条渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
二者联立得，y=±$\frac{ab}{c}$，
可设P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
又△PQF为等边三角形，且F（c，0），
可得直线PF的斜率为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{\frac{ab}{c}}{c-\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得b=$\sqrt{3}$a，
即c²-a²=3a²，
即有c=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和准线方程，求交点，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．