题目内容

lim
n→∞
[
1
3
-
1
9
+
1
27
+…+(-1)n-1
1
3n
]的值为
 
．
分析：先利用等比列求和公式求出数列{（-1）n-1×
1
3n
}的前n项和，再利用极限法则求极限．
解答：解：不妨设Sn=
1
3
-
1
9
+…+（-1）n-1×
1
3n
=
1
3
×[1-[-
1
3
]n]
1-[ -
1
3
]

∴
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
1
3
×[1-  [-
1
3
]n ]
1-[-
1
3
]
=
1
3
1-[-
1
3
]
=
1
4

故答案为：
1
4
．
点评：.本题考查数列极限的知识，是基础题，要熟练掌握．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和为Sn，且
Sn
an
=
1
2
an+1(n∈N*)，其中a1=1，an≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，求证：2Tn＞log2（2an+1），n∈N*；
（Ⅲ）是否存在正整数m，d，使得
lim
n→∞
[(
1
3
)m+(
1
3
)m+d+(
1
3
)m+2d+…+(
1
3
)m+(n-1)d]=
1
a8
成立？若存在，请求出m和d的值；若不存在，请说明理由．
已知
lim
n→∞
3n
3n+1+an
=
1
3
，则a的取值范围为
（-3，3）
（-3，3）
．
（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=
1
3
f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[
n
2
f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）已知
lim
n
 
∞
2n+3
3n-1
=0，设F（n）=Sn-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．
lim
n→∞
[
1
3
-
1
9
+
1
27
+…+(-1)n-1
1
3n
]的值为 ______．

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