Question

8．已知函数f（x）=|2x+3|，g（x）=-|x-2|+1
（Ⅰ）解不等式f（x）＞|x-1|
（Ⅱ）若f（x）-2g（x）的最小值是m，且4a²+b²=m（ab≠0），求$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式f（x）＞|x-1|可化为|2x+3|＞|x-1|，两边平方整理可解不等式；
（Ⅱ）求出f（x）-2g（x）的最小值是5，再利用“1”的代换，即可求出$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞|x-1|，可化为|2x+3|＞|x-1|，
两边平方整理可得（3x+2）（x+4）＞0，
∴x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-4}；
（Ⅱ）f（x）-2g（x）=|2x+3|+|2x-4|-2≥|2x+3-2x+4|-2=5，
∴f（x）-2g（x）的最小值是5，
∴m=5，
∴4a²+b²=5
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$）（4a²+b²）=$\frac{1}{5}$（13+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{36{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥$\frac{1}{5}$（13+12）=5，
当且仅当$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{36{a}^{2}}{{b}^{2}}$且4a²+b²=5，即a²=$\frac{1}{2}$，b²=3时取等号，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$的最小值为5．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的运用，考查基本不等式，属于中档题．