Question

4．已知（1+2x）ⁿ的展开式中第6项与第7项的系数相等，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）求出展开式的通项，利用第6项与第7项的系数相等，建立方程，求出n，即可求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）设第k+1项的系数最大，则：$\left\{{\begin{array}{l}{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k-1}×{2^{k-1}}}\\{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k+1}×{2^{k+1}}}\end{array}}\right.⇒5≤k≤6$，即可求出展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）展开式的第k+1项为 ${T_{k+1}}=C_n^k{（{2x}）^k}$，
依题意有$C_n^5×{2^5}=C_n^6×{2^6}$，解得n=8，
∴（1+2x）⁶的展开式中，二项式系数最大的项为${T_5}=C_8^4{（{2x}）^4}=1120{x^4}$；
（2）设第k+1项的系数最大，则：$\left\{{\begin{array}{l}{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k-1}×{2^{k-1}}}\\{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k+1}×{2^{k+1}}}\end{array}}\right.⇒5≤k≤6$，又k∈Z₊，
∴k=5或k=6，
展开式中系数最大的项为 ${T_6}=C_8^5{（{2x}）^5}=1792{x^5}$和 ${T_7}=C_8^6{（{2x}）^6}=1792{x^6}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查方程思想，正确计算是关键．