Question

8．如图，在△ABC中，点D为线段BA延长线上的一点，且∠BDC=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3$\sqrt{2}$，求AD的长度．

Answer 1

分析 （1）作直径CE，连接AE；先证明∠ACB=∠E，再证∠ACB+∠ACE=90°，即∠BCE=90°，即可证出BC为⊙O的切线；
（2）作AF⊥BC于F，先求出BC、BD的长，再求AD的长度．

解答 证明：（1）作直径CE，连接AE；如图所示：
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠D=∠ACB，∠D=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即∠BCE=90°，
∴BC为⊙O的切线；
解：（2）作AF⊥BC于F，如图所示：
∵∠B=45°，
∴AF=BF=AB•sin45°=3，
∵∠ACB=60°，
∴EC=$\sqrt{3}$，
∴BC=3+$\sqrt{3}$，
∵BC²=BA•BD，
∴BD=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴AD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、切割线定理以及锐角三角函数；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．