题目内容
10．
2016年里约奥运会和残奥会吉祥物的名字于2015年12月14日揭晓，两个吉祥物分别叫维尼修斯（Vinicius）和汤姆（Tom）（如图），以此纪念巴萨诺瓦曲风的著名音乐家Viniciusde Moraes和Tom Jobim．某商场在抽奖箱中放置了除图案外，其它无差别的8张卡片，其中2张印有“维尼修斯（Vinicius）”图案，n（2≤n≤4）张印有“汤姆（Tom）”图案，其余卡片上印有“2016年里约奥运会”的图案，（1）若n=4，从抽奖箱中任意取一卡片，记下图案后放回，连续抽取三次，求三次取出的卡片中，恰有两张印有“2016年里约奥运会”图片卡片的概率；
（2）从抽奖箱中任意抽取两张卡片，两张卡片图案相同的概率是$\frac{2}{7}$．求n的值；
（3）①当n=3时，随机抽取一次，若规定取出印有“维尼修斯（Vinicius）”图案的卡片获得16元购物券，取出印有“汤姆（Tom）”图案的卡片获得8元购物券，取出印有“2016年里约奥运会”的图案的卡片没有奖励，用ξ表示获得奖券的面值，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
②在①的条件下，若商场每天有800人参与抽奖活动，顾客获得的购物券全部用于捆绑其他商品消费，每1元购物券能给商场带来10元纯利润，则商场每天在这个活动中能获得的纯利润是多少？
分析 （1）若n=4，根据相互独立事件的概率公式求概率；
（2）由题意知$\frac{{∁}_{2}^{2}+{∁}_{n}^{2}+{∁}_{6-n}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，从而求得．
（3）①若n=3，则印有“维尼修斯（Vinicius）”图案的卡片有2张，印有“汤姆（Tom）”图案的卡片有3张，印有“2016年里约奥运会”的图案的卡片有3张；从而写出分布列及数学期望；
②在①的条件下，商场每天在这个活动中能获得的纯利润是800×7×10=56000元．
解答 解：（1）若n=4，则恰有两张印有“2016年里约奥运会”图片卡片的概率
p=${∁}_{3}^{2}$•$\frac{2}{8}$•$\frac{2}{8}$•$\frac{6}{8}$=$\frac{9}{64}$；
（2）由题意知，
$\frac{{∁}_{2}^{2}+{∁}_{n}^{2}+{∁}_{6-n}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
解得，n=2或n=4；
（3）①若n=3，则印有“维尼修斯（Vinicius）”图案的卡片有2张，印有“汤姆（Tom）”图案的卡片有3张，印有“2016年里约奥运会”的图案的卡片有3张；
由题意知，
| ξ | 0 | 8 | 16 |
| p | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{4}$ |
②在①的条件下，商场每天在这个活动中能获得的纯利润是800×7×10=56000元．
点评 本题考查了概率在实际问题中的应用及超几何分布的应用，考查了分类讨论的思想应用．
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