Question

16．△ABC的内角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，已知2（a²-b²）=2accosB+bc．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若点D为BC上一点，且BD=2DC，BA⊥AD，求角B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合余弦定理可得cosA，从而求得A；
（Ⅱ）设DC为1个单位长度，则BD=2，在Rt△ABD中，则AB=BDcosB=2cosB．在△ADC中，由正弦定理可得AB=AC，则角B可求．

解答 解：（Ⅰ）由$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，得$2（{a}^{2}-{b}^{2}）=2ac•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}+bc$，
即b²+c²-a²=-bc，
∴$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2}{3}π$；
（Ⅱ）设DC为1个单位长度，则BD=2，
在Rt△ABD中，AB=BDcosB=2cosB．
在△ADC中，由正弦定理$\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{1}{sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{2}）}=\frac{AC}{sin（B+\frac{π}{2}）}$，
∴AC=2cosB，则AB=AC．
故B=C=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，是中档题．