Question

16．已知函数f（x）=x²-ax+1，x∈R．
（1）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（3）任意x₁，x₂∈[1，2]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为x²-ax+1≥0对x∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（2）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数在[1，2]上的最大值即可；
（3）问题转化为f（x）_max-f（x）_min≤4，x∈[1，2]，讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最值的差，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）若f（x）≥0对x∈R恒成立，即x²-ax+1≥0对x∈R恒成立，
∴△=a²-4≤0，解得，-2≤a≤2．
∴a的取值范围[-2，2]；
（2）f（x）=x²-ax+1，a∈（0，3），
对称轴x=$\frac{a}{2}$＞0，
①0＜$\frac{a}{2}$＜1即0＜a＜2时，f（x）在[1，2]递增，
f（x）的最大值是f（2）=5-2a，
②1≤$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$即2≤a＜3时，
f（x）在[1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，2]递增，
f（x）的最大值是f（1）或f（2），
而$\frac{a}{2}$-1≤2-$\frac{a}{2}$，
∴f（x）的最大值是f（2）=5-2a，
综上，f（x）的最大值是5-2a；
（3）任意x₁，x₂∈[1，2]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，x∈[1，2]，
f（x）=x²-ax+1，对称轴x=$\frac{a}{2}$，
①a≤2，即x=$\frac{a}{2}$≤1时，
f（x）在[1，2]递增，f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（1）=3-a≤4，
解得：-1≤a≤2；
②2＜a＜3即1＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$时，
f（x）在[1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，2]递增，
f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-2a+4≤4，
解得：0≤a≤8，即2＜a＜3符合题意；
③3≤a＜4即$\frac{3}{2}$≤a＜2时，
f（x）在[1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，2]递增，
f（x）_max-f（x）_min=f（1）-f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1≤4，
解得：-2≤a≤6，即3≤a＜4符合题意；
④a≥4，即$\frac{a}{2}$≥2时，
f（x）在[1，2]递减，f（x）_max-f（x）_min=f（1）-f（2）=a-3≤4，
解得：4≤a≤7；
综上：-1≤a≤7．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．