Question

3．已知$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，其中θ为锐角﹒
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$的值﹒

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$的值﹒

解答 解：（1）∵θ为锐角，$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，∴$θ+\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}）$，∴$sin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{4}{3}$．
∴$tanθ=tan[{（θ+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}}]=\frac{{tan（θ+\frac{π}{4}）-tan\frac{π}{4}}}{{1+tan（θ+\frac{π}{4}）•tan\frac{π}{4}}}=\frac{1}{7}$．
（2）$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$=$\frac{{{{cos}^2}θ+2sinθ•cosθ}}{{2{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}=\frac{2tanθ+1}{{2{{tan}^2}θ+1}}=\frac{21}{17}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号、二倍角公式的应用，属于基础题．