Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的左右两个顶点分别为A，B，点M是直线l：x=4上任意一点，直线MA，MB分别与椭圆交于不同于A，B两点的点P，点Q．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点F的坐标；
（Ⅱ）（i）证明P，F，Q三点共线；
（ii）求△PQB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得椭圆的a，b，c，运用离心率公式，可得所求；
（Ⅱ）（i）求出A（-2，0），B（2，0）．设M（4，m），显然m≠0．求得直线MA，MB的方程，代入椭圆方程，可得P，Q的坐标，讨论当m²=9时，当m²≠9时，求得FP，FQ的斜率，即可得证；
（ii）因为P，Q，F三点共线，可得△PQB的面积S=$\frac{1}{2}$|FB|•|y_P-y_Q|，化简整理，运用换元法和基本不等式，以及函数的单调性，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，
可得a²=4，b²=3，c²=a²-b²=1，
即有椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
右焦点F（1，0）；
（Ⅱ）（i）证明：A（-2，0），B（2，0）．设M（4，m），显然m≠0．
则$MA：y=\frac{m}{6}（{x+2}）$，$MB：y=\frac{m}{2}（{x-2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{6}（{x+2}）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_P}=\frac{{54-2{m^2}}}{{27+{m^2}}}\\{y_P}=\frac{18m}{{27+{m^2}}}.\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{2}（{x-2}）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_Q}=\frac{{2{m^2}-6}}{{{m^2}+3}}\\{y_Q}=\frac{-6m}{{{m^2}+3}}.\end{array}\right.$，
当m²=9时，x_P=x_Q=1，P，Q，F三点共线．
当m²≠9时，${k_{FP}}=\frac{{{y_P}-0}}{{{x_P}-1}}=\frac{18m}{{27-3{m^2}}}=\frac{6m}{{9-{m^2}}}$，
${k_{FQ}}=\frac{{{y_Q}-0}}{{{x_Q}-1}}=\frac{-6m}{{{m^2}-9}}=\frac{6m}{{9-{m^2}}}$，
所以，k_FP=k_PQ，所以，P，Q，F三点共线．
综上，P，Q，F三点共线．
（ii）因为P，Q，F三点共线，
所以△PQB的面积$S=\frac{1}{2}×|{FB}|×|{{y_P}-{y_Q}}|=|{\frac{{12m（{{m^2}+9}）}}{{（{{m^2}+3}）（{{m^2}+27}）}}}|$
=$|{\frac{{12（{m+\frac{9}{m}}）}}{{{{（{m+\frac{9}{m}}）}^2}+12}}}|$，
设$u=|{m+\frac{9}{m}}|$，则$S=\frac{12u}{{{u^2}+12}}$，
因为$S'=\frac{{24（{6-u}）}}{{{{（{{u^2}+12}）}^2}}}$，且$u=|{m+\frac{9}{m}}|≥6$，所以，S'≤0，且仅当u=6时，S'=0，
所以，$S=\frac{12u}{{{u^2}+12}}$在[6，+∞）上单调递减．
所以，$S≤\frac{12×6}{{{6^2}+12}}=\frac{3}{2}$，等号当且仅当u=6，即m=±3时取得．
所以，△PQB的面积的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率和焦点的求法，考查三点共线的证明，注意斜率相等，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用弦长公式和换元法，以及基本不等式和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．