Question

3．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：对任意不小于2的正整数n，都有a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+ka_n=ta_n²-1（k，t为常数）成立．
（1）k=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{1}{4}$，问：数列{a_n}是否为等差数列？并说明理由；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求证：t=0且k＜0．

Answer 1

分析 （1）若k=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{1}{4}$，则a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{4}$a_n²-1，即a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=$\frac{1}{4}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1①，上推一项后，两式作差，整理后得：2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），a_n＞0⇒a_n+1-a_n=2，从而可判断数列{a_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}是等比数列，设公比为q，利用等比数列的求和公式可得$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n-1}）}{1-q}$=ta_n²-ka_n-1=t${{a}_{1}}^{2}$q^2n-2-ka₁q^n-1-1，即则$\left\{\begin{array}{l}{t=0}\\{{ka}_{1}=\frac{{a}_{1}}{1-q}}\\{\frac{{a}_{1}}{1-q}=-1}\end{array}\right.$，从而可证：t=0且k＜0．

解答 （1）解：若k=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{1}{4}$，则a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{4}$a_n²-1，
即a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=$\frac{1}{4}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1，①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=$\frac{1}{4}$a_n+1²-$\frac{1}{2}$a_n+1-1，②
②-①得，a_n=$\frac{1}{4}$a_n+1²-$\frac{1}{2}$a_n+1-1-（$\frac{1}{4}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1），
整理得：2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），a_n＞0，
所以，a_n+1-a_n=2，
即数列{a_n}是等差数列；
（2）证明：数列{a_n}为等比数列，设公比为q，
则$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n-1}）}{1-q}$=ta_n²-ka_n-1=t${{a}_{1}}^{2}$q^2n-2-ka₁q^n-1-1，
即$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{{a}_{1}q}^{n-1}}{1-q}$=t${{a}_{1}}^{2}$q^2n-2-ka₁q^n-1-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{t=0}\\{{ka}_{1}=\frac{{a}_{1}}{1-q}}\\{\frac{{a}_{1}}{1-q}=-1}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{t=0}\\{{ka}_{1}=-1}\end{array}\right.$
又a₁为正数，故k＜0．所以，t=0且k＜0．

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与等比数列性质的应用，考查推理证明能力与运算能力，属于难题．