Question

2．若实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-3≤0}\\{3x-y-9≥0}\\{y≤3}\end{array}}\right.$，则$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是区域内的点到点D（-1，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最大，AD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{3x-y-9=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，得B（4，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-9=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，得A（3，0），
则BD的斜率k=$\frac{3+1}{4+1}$=$\frac{4}{5}$，
AD的斜率k=$\frac{0+1}{3+1}$=$\frac{1}{4}$，
则$\frac{1}{4}$≤$\frac{y+1}{x+1}$≤$\frac{4}{5}$，
即$\frac{y+1}{x+1}$的范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．