Question

14．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
（Ⅰ）求sin∠DBC；
（Ⅱ）求AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求$sin∠BDC=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．
（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求$cos∠DBC=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△BDC中，因为$cos∠BDC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以$sin∠BDC=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
由正弦定理$\frac{DC}{sin∠DBC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$得，$sin∠DBC=\frac{DC•sin∠BDC}{BC}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$． …（5分）
（Ⅱ）在△BDC中，由BC²=DC²+DB²-2DC•DBcos∠BDC，
得，$4=1+D{B^2}-2DB\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$． 
所以$D{B^2}-\frac{{4\sqrt{7}}}{7}DB-3=0$．
解得$DB=\sqrt{7}$或$DB=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$（舍）．
由已知得∠DBC是锐角，又$sin∠DBC=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
所以$cos∠DBC=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．
所以cos∠ABD=cos（120°-∠DBC）=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC=$-\frac{1}{2}•\frac{{5\sqrt{7}}}{14}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{21}}}{14}$=$-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$．
在△ABD中，因为AD²=AB²+BD²-2AB•BDcos∠ABD=$16+7-2×4×\sqrt{7}×（-\frac{{\sqrt{7}}}{14}）=27$，
所以$AD=3\sqrt{3}$．  …（13分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题．