Question

已知m，n为正整数．

(Ⅰ)用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)^m≥1＋mx；

(Ⅱ)对于n≥6，已知，求证，m＝1，1，2…，n；

(Ⅲ)求出满足等式3ⁿ＋4^m＋…＋(n＋2)^m＝(n＋3)ⁿ的所有正整数n

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)证：用数学归纳法证明： 　　(ⅰ)当时，原不等式成立；当时，左边，右边， 因为，所以左边右边，原不等式成立； 　　(ⅱ)假设当时，不等式成立，即，则当时， ，，于是在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数，不等式都成立． 　　(Ⅱ)证：当时，由(Ⅰ)得， 于是，． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，当时， ， ． 即．即当时，不存在满足该等式的正整数． 故只需要讨论的情形： 当时，，等式不成立； 当时，，等式成立； 当时，，等式成立； 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立； 当时，同的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的只有． 　　解法2：(Ⅰ)证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当，且时，，．　　① 　　(ⅰ)当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立； 　　(ⅱ)假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． 　　(Ⅱ)证：当，时，，， 而由(Ⅰ)，， ． 　　(Ⅲ)解：假设存在正整数使等式成立，即有．　　　　　② 又由(Ⅱ)可得 ，与②式矛盾． 故当时，不存在满足该等式的正整数． 　　下同解法1．