Question

已知函数．

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

 

Answer 1

（1），（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用导数研究函数单调性，在上是增函数就是≥0在上恒成立，恒成立问题一般利用变量分离转化为最值问题，即≤在上恒成立．令，则≤．∵在上是增函数，∴．∴≤1．所以实数的取值范围为．（2）利用导数研究函数最值，实际还是研究函数单调性. ①若，,，解得（舍去）．②若，当时，，当时，，，解得（舍去）．③若，则,，所以．

【解析】
（1）∵，∴． 2分

∵在上是增函数，

∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立． 4分

令，则≤．

∵在上是增函数，∴．

∴≤1．所以实数的取值范围为． 7分

（2）由（1）得，．

①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．

所以，解得（舍去）． 10分

②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．

所以，解得（舍去）． 13分

③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．

所以，所以．------16分

考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值.