Question

3．已知函数f（x）=x²-cosx，对于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x₂；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x₁|＞x₂，④$x_1^2＜x_2^2$其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件是序号是②．

Answer 1

分析 利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．

解答 解：∵f′（x）=2x+sinx，
∴当x=0时，f′（0）=0；当x∈[-$\frac{π}{2}$，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．
∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，都有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
根据以上结论可得：
①当x₁＞x₂时，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|，则f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③当|x₁|＞x₂时，则f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④当$x_1^2＜x_2^2$时，得|x₁|＜|x₂|，则f（|x₁|）＜f（|x₂|）?f（x₁）＜f（x₂）恒成立；
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件是②，
故答案为：②．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键．