Question

9．设函数$f（x）=4sin（{ωx+\frac{π}{3}}）（{ω＞0}）$的最小正周期为π，设向量$\overrightarrow a=（{-1，f（x）}）$，$\overrightarrow b=（{f（{-x}），1}）$，$g（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数g（x）在区间$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$上的最大值和最小值；
（3）若x∈[0，2016π]，求满足$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$的实数x的个数．

Answer 1

分析 （1）利用$T=\frac{2π}{ω}=π$，可得ω．再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）利用数量积运算性质、正弦函数的单调性最值即可得出．
（3）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）∵$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．  
∴$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
令$2x+\frac{π}{3}∈[{2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}}]$，解得$x∈[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]（{k∈Z}）$，
此即为f（x）的递增区间． 
（2）$g（x）=-f（{-x}）+f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）-4sin（{-2x+\frac{π}{3}}）$
=$4sin（{2x+\frac{π}{3}}）+4sin（{2x-\frac{π}{3}}）=8sin2x•cos\frac{π}{3}=4sin2x$． 
∵$x∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x∈[{\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}}]$，∴$sin2x∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
∴$g{（x）_{max}}=4，g{（x）_{min}}=2\sqrt{2}$．  
（3）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，∴g（x）=4sin2x=0，∴$2x=kπ，x=\frac{kπ}{2}$，
又x∈[0，2016π]，
∴$\frac{kπ}{2}∈[{0，2016π}]$，
即k∈[0，4032]，k∈Z，∴k的值有4033个，
即x有4033个．

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦函数的单调性最值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．