Question

14．已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用通项公式列方程求出首项和公差，代入通项公式和求和公式即可；
（II）根据等比数列的通项公式得出b_n，使用分组求和得出T_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₂=5，a₅+a₇=26，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴b_n-a_n=3^n-1，所以 b_n=a_n+3^n-1，
∴T_n=S_n+（1+3+3²+3³+…+3^n-1）=n²+2n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，等比数列的求和公式，属于中档题．