Question

9．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为非零向量，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据平面向量垂直于数量积的定义，得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|≠0，再求出向量夹角的余弦值即可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的大小．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；
由（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
即${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|≠0，
∴cosθ=$\frac{{|\overrightarrow{a}|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ=$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题目．