Question

3．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为50元/平方米，底面的建造成本为100元/平方米．该蓄水池总建造成本为10800π元．（π为圆周率）
（Ⅰ）将V表示为r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer 1

分析 （I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为10800π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．

解答 解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为100•πrh元，
底面积成本为100πr²元，
∴蓄水池的总建造成本为100•πrh+100πr²元
即100•πrh+100πr²=10800π，
∴h=$\frac{1}{r}$（108-r²）
∴V（r）=πr²h=πr²•$\frac{1}{r}$（108-r²）=π（108r-r³）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜6$\sqrt{3}$
故函数V（r）的定义域为（0，6$\sqrt{3}$）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=π（108r-r³），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
可得V′（r）=π（108-3r²），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
∵令V′（r）=π（108-3r²）=0，则r=6
∴当r∈（0，6）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（6，6$\sqrt{3}$）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=6，h=12时该蓄水池的体积最大

点评 本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．