Question

15．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$的值域为[$\frac{2}{27}$，2]．

Answer 1

分析 分离常数，利用二次函数的判别式求出值域即可．

解答 解：设y=f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$，
则y（x²+3x+9）=x²-2x+2，
整理得：x²（y-1）+x（3y+2）+9y-2=0，
∵方程有实根，
∴y-1=0；或y-1≠0，且△=（3y+2）²-4（y-1）（9y-2）≥0，
解得：$\frac{2}{27}≤y≤2$．
即函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+3x+9}$的值域为：[$\frac{2}{27}$，2]．
故答案为：[$\frac{2}{27}$，2]．

点评 本题考查了函数的值域，利用二次函数的判别式求解是解决本题的关键，是基础题．