Question

8．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，证明：数列{b_n}为等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，推出{b_n}为等差数列，然后求出数列{b_n}的通项公式；
（2）表示出数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）由${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^{n+1}}$，
得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{a_n}{2^n}+1$，
即b_n+1-b_n=1，
所以{b_n}为等差数列，
其中${b_1}=\frac{a_1}{2}=1$，
所以b_n=b₁+（n-1）×1=n，n∈N^*．
（2）${a_n}={2^n}•{b_n}=n×{2^n}$，设其前n项和为T_n，
∴${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，①
$2{T}_{n=}1×{2}^{2}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+n×{2}^{n+1}$，..，②
①-②，
得$-{T_n}=1×{2^2}+1×{2^3}+…+1×{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=-2-（n-1）×{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=（n-1）×{2^{n+1}}+2$，
又b_n的前n项和为$\frac{（1+n）n}{2}$，
∴数列{c_n}的前n项和${S_n}=（n-1）×{2^{n+1}}+2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的判断以及数列求和的方法，考查计算能力．