Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n-2ⁿ}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，求b_n的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件转化推出$\left\{{{a_n}-{2^n}}\right\}$是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，然后利用错位相减法求和求解即可．

解答 解：（1）证明：当n≥2时，${a_n}={a_{n-1}}+{2^{n-1}}+3={a_{n-1}}+{2^n}-{2^{n-1}}+3$，
∴${a_n}-{2^n}-（{a_{n-1}}-{2^{n-1}}）=3$，
又a₁=4，∴a₁-2=2，
故$\left\{{{a_n}-{2^n}}\right\}$是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴${a_n}-{2^n}=2+（n-1）×3=3n-1$，
∴${a_n}={2^n}+3n-1$．
（2）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{{{2^n}+3n-1}}{2^n}=1+\frac{3n-1}{2^n}$，
∴${S_n}=（1+\frac{2}{2}）+（1+\frac{5}{2^2}）+…+（1+\frac{3n-1}{2^n}）$=$n+（\frac{2}{2}+\frac{5}{2^2}+…+\frac{3n-1}{2^n}）$，
令${T}_{n}=\frac{2}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}+…+\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，①
则$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{3}{2^n}-\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
=$1+3×\frac{{\frac{1}{4}[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{5}{2}-\frac{3n+5}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${S_n}=n+5-\frac{3n+5}{2^n}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．