Question

6．已知抛物线C以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设（1）中焦点在x轴上的抛物线为C₁，直线l过点P（0，2）且与抛物线C₁相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由直线2x-3y+6=0，分别令x=0，y=0，可得与坐标轴的交点（0，2），（-3，0）．进而得出抛物线的方程．
（2）设（1）中焦点在x轴上的抛物线为C₁：y²=-12x．对斜率分类讨论：
直线l的斜率不存在时：x=0与此抛物线相切．直线l的斜率存在时，设直线l过点P（0，2）且与抛物线C₁相切的方程为：y=kx+2，（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k²x²+（4k+12）x+4=0，利用△=0，即可得出．

解答 解：（1）由直线2x-3y+6=0，分别令x=0，y=0，可得与坐标轴的交点（0，2），（-3，0）．
可得：抛物线C的标准方程为：x²=8y，y²=-12x．
（2）设（1）中焦点在x轴上的抛物线为C₁：y²=-12x．
直线l的斜率不存在时：x=0与此抛物线相切，∴直线l的方程为：x=0．
直线l的斜率存在时，设直线l过点P（0，2）且与抛物线C₁相切的方程为：y=kx+2，（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=-12x}\end{array}\right.$，化为：k²x²+（4k+12）x+4=0，
∴△=（4k+12）²-16k²=0，解得k=-$\frac{3}{2}$，直线l的方程为：y=-$\frac{3}{2}$x+2，即3x+2y-4=0．
综上可得直线l的方程为：3x+2y-4=0，或x=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．