Question

3．已知n∈N^*，S_n=（n+1）（n+2）…（n+n），${T_n}={2^n}×1×3×…×（2n-1）$．
（Ⅰ）求 S₁，S₂，S₃，T₁，T₂，T₃；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （I）分别令n=1，2，3计算；
（II）先验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立推导n=k+1猜想成立．

解答 解：（Ⅰ）S₁=T₁=2，S₂=T₂=12，S₃=T₃=120；     
（Ⅱ）猜想：S_n=T_n（n∈N^*），
证明：（1）当n=1时，S₁=T₁；
（2）假设当n=k（k≥1且k∈N^*）时，S_k=T_k，
即（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k×1×3×…（2k-1），
则当n=k+1时S_k+1=（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1）
=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2）
=$\frac{{{2^k}×1×3×…（2k-1）}}{k+1}×（2k+1）（2k+2）$
=2^k+1×1×3×…（2k-1）（2k+1）=T_k+1．
即n=k+1时也成立，
由（1）（2）可知n∈N^*，S_n=T_n成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于中档题．