Question

已知数列{a_n}是等差数列，公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*)，a_kx²＋2a_k+1x＋a_k+2＝0(k∈N^*)．

(1)求证：当k取不同正整数时，方程都有实数根；

(2)若方程不同的根依次为x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，求证：，，，…，，…是等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(1)∵{a_n}是等差数列，公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*)，

　　∴2a_k+1＝a_k＋a_k+2．

　　代入已知方程得a_kx²＋(a_k＋a_k+2)x＋a_k+2＝0，

　　即(x＋1)(a_kx＋a_k+2)＝0．

　　方程有解x＝－1，故不论k取何正整数时，方程都有公共根－1．

　　(2)当k取不同正整数时，x_k＝－，

　　∴x_k＋1＝－＋1＝－＝－．

　　故＝－．

　　则－＝(－)－(－)＝－＝－．

　　∴数列{}是等差数列．

　　思路解析：(1)由已知一元二次方程中，其系数a_k，a_k+1，a_k+2为等差数列的相邻三项，则可考虑用等差中项将一个系数用另外两个系数的关系式表示，这样可考虑将方程左端分解因式，看是否有与k无关的因式．

　　(2)只要证明－为一个常数即可．