Question

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若$b=3，sinA=\sqrt{2}sinC$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得sinBsinA=sinAcosB，结合sinA≠0，可求tanB=1，即可得解B的值．
（2）由已知及正弦定理可求c=$\sqrt{2}$a，由余弦定理可求9=a²+c²-2accosB，进而联立即可解得c，a的值．

解答 解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理得：sinBsinA=sinAcosB，
∵A为三角形的内角，
∴sinA≠0，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
又B为三角形的内角，
∴B=$\frac{π}{4}$；
（2）由sinC=$\sqrt{2}$sinA及正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得：c=$\sqrt{2}$a①，
∵b=3，cosB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得：9=a²+c²-2accosB②，
联立①②解得：c=3$\sqrt{2}$，a=3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．