Question

14．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{ac}{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}=\frac{sinAcosA}{{cos（{A+C}）}}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求bc的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理，二倍角公式化简可得sin2A=1，进而可求2A=$\frac{π}{2}$，即可得解A的值．
（2）根据正弦定理可得bc=4sinBsinC，结合C=$\frac{3π}{4}$-B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得bc=2sin（2B-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解bc的范围．

解答 （本小题满分15分）
解：（1）∵$\frac{ac}{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}=\frac{sinAcosA}{{cos（{A+C}）}}$，由余弦定理可得：$\frac{ac}{-2accosB}=\frac{sinAcosA}{-cosB}$，-----------------（2分）
∴cosB≠0，
∴2sinAcosA=1，即sin2A=1，---------------（4分）
∴2A=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{4}$．------------------------（6分）
（2）∵正根据弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴bc=4sinBsinC，-----------（8分）
∵C=$\frac{3π}{4}$-B，
∴bc=4sinBsin（$\frac{3π}{4}$-B）=4sinB（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB）
=$\sqrt{2}$sin2B+$\sqrt{2}$（1-cos2B），
∴bc=2sin（2B-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，-----------------------（12分）
在三角形ABC中，得到B的范围：$（{0，\frac{3π}{4}}）$，$2B-\frac{π}{4}∈（{-\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}）$，-----------（14分）
则bc范围：$（{0，2+\sqrt{2}}]$．------------------------------------------------------（15分）

点评 本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．