Question

12． 如图，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，四边形ACED的面积为$\frac{3}{2}$，F为BC的中点，
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）设BE的中点为M，连结DM、FM，由题意和线面垂直的性质得：四边形ADEC是直角梯形，由梯形的面积公式列出方程求出CE，由题意和中位线的性质得：四边形ADMF是平行四边形，由平行四边形的性质、直线与平面平行的判定证明结论成立；
（2）由条件和线面垂直的定义、判定定理得：AF⊥平面BCE，由AF∥DM和面面垂直的判定定理证明结论成立．

解答 证明：（1）设BE的中点为M，连结DM、FM，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥CE，且AD⊥AC，CE⊥AC，
∴四边形ADEC是直角梯形，
∵四边形ACED的面积为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}（AD+CE）•AC=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}（1+CE）•1=\frac{3}{2}$，
解得CE=2，
∴AD∥CE，且AD=$\frac{1}{2}$CE，
又F、M分别为BC、BE的中点，
∴AD∥FM，且AD=FM，
∴四边形ADMF是平行四边形，∴AF∥DM，
∵DM?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE；
（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，
∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥AF，
∵BC∩CE=E，∴AF⊥平面BCE，
又AF∥DM，∴DM⊥平面BCE，
∵DM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．

点评 本题主要考查直线与平面平行的判定，线面垂直、面面垂直的性质和判定定理，以及梯形的面积计算，考查考生推理论证能力，空间想象能力．