Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为$\frac{1}{2}$，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得B（0，b），C（0，-b），F（c，0），由直线BF的方程bx+cy=bc代入椭圆方程求得交点D的坐标，由直线的斜率公式，化简整理可得a²=2bc，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得B（0，b），C（0，-b），F（c，0），
由直线BF的方程bx+cy=bc代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，
消去y，可得x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，y=$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
即为D（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$），
直线CD的斜率为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）+b（{c}^{2}+{a}^{2}）}{2{a}^{2}c}$=$\frac{1}{2}$，
即有a²=2bc，由a²=b²+c²，可得b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求交点，结合直线的斜率公式，运用离心率公式，考查运算能力，属于中档题．