Question

已知．.

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；

(3) 证明对一切， 恒成立．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.

试题解析：⑴ ，当，，单调递减，

当，，单调递增． 1分

（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）

① ，t无解； 2分

② ，即时， 3分

③ ，即时，在上单调递增，；

所以 5分

由题可知:,则.因对于,恒成立，故,

设，则.

单调递增，单调递减.

所以，即.

问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)

由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.

设,则,易得,当且仅当时取到.

从而对于一切,都有恒成立.

考点：（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.