Question

四面体ABCD的棱长都是1，AB∥平面α，则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（　　）

• A．[

  2

  4

• B．[

  3

  4

• C．[

  3

  4

• D．[

  2

  4

Answer 1

分析：当正四面体绕着与平面平行的一条边AB转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．

解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
由题意当线段AB相对的侧棱CD与投影面平行时投影面积最大，
此时投影是一个对角线长等于正四面体棱长1的正方形，如下图所示：
故投影面积为S=

1

2

×1×1=

1

2

    
当面CD⊥平面α时，面积取最小值，
如下图所示：此时构成的三角形底边是1，高是正四面体两条相对棱之间的距离

2

2

，故面积是

2

4

，
故图形面积的取值范围是[

2

4

，

1

2

]
故选D

点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．