Question

8．已知“若点P（x₀，y₀）在双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上，则C在点P处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}-\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1”．现已知双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1和点Q（1，t）（t≠±$\sqrt{3}$），过点Q作双曲线C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（　　）

• A． $（0，2\sqrt{3}）$
• B． $（0，-2\sqrt{3}）$
• C． （4，0）
• D． （-4，0）

Answer 1

分析 由双曲线的切线方程$\frac{x}{4}-\frac{ty}{12}=1$，整理得：3x-4y=12，将M，N坐标代入双曲线及切线方程，利用作差法即可求得直线方程的斜率，代入（2）即可求得x₁，即可求得直线MN方程y=$\frac{3}{t}$（x-4），即可求得直线MN过定点（4，0）．

解答 解：设点Q（1，t）（t≠±$\sqrt{3}$），在双曲线线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1的切点M、N的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线MN的方程可表示为y-y₁=k（x-x₁），根据题意，切线方程为：$\frac{x}{4}-\frac{ty}{12}=1$，整理得：3x-4y=12，
∵为切点在切线和双曲线上，
$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=12}&{（1）}\\{3{x}_{1}-t{y}_{1}=12}&{（2）}\\{3{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=12}&{（3）}\\{3{x}_{2}-t{y}_{2}=12}&{（4）}\end{array}\right.$，
（2）-（4）得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3}{t}$=k，①
∴由（2）x₁=$\frac{12+ty}{3}$，②
将①，②带入直线MN的方程，y=$\frac{3}{t}$（x-4），
直线MN过定点（4，0），
故选C．

点评 本题考查双曲线的标准方程及切线方程，考查直线的斜率的求法，考查计算能力，属于中档题．